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Calcul de la date de PAQUES et Eléments du Comput ecclésiastique

 

 

 

 

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Qui ne s'est pas posé un jour la question sur la signification des données énigmatiques de "Nombre d'Or", "Epacte", "Lettre dominicale", ou encore "Indiction romaine" figurant sur la plupart des calendriers ? Que veulent dire ces termes ? A quoi correspondent ces chiffres ? A quoi servent-ils ?

 

Tout simplement à déterminer la date de Pâques et des fêtes mobiles dépendantes !

 

La date de Pâques

 

La définition ecclésiastique actuelle de la date de Pâques est celle adoptée en l'an 325 par le concile de Nicée, convoqué par l'empereur romain Constantin : «Pâques est célébré le dimanche qui suit le quatorzième jour de la Lune qui atteint cet âge au 21 Mars ou immédiatement après».

 

Le quatorzième jour de la Lune étant le jour de la Pleine Lune et le 21 mars correspondant à la date de l'équinoxe de printemps (marquant le début du printemps), cette définition est souvent mal interprétée en laissant supposer que Pâques est le résultat d'un calcul astronomique basé sur la détermination de l'équinoxe de printemps et de la première Pleine Lune suivant cet équinoxe. En réalité, le calcul de la date de Pâques se fait à l'aide d'un calendrier perpétuel lunaire utilisant une Lune moyenne fictive. La Pleine Lune ecclésiastique peut différer de la Pleine Lune réelle d'un ou deux jours. L'Église ne tient donc pas compte du mouvement réel de la Lune mais utilise une Lune fictive mais régulière pour son calcul des dates de fêtes religieuses mobiles ou comput (du latin computus "compte").

 

Calcul de la Date de Pâques

Inscrivez l'Année pour laquelle vous souhaitez connaître la Date du Jour de Pâques :...

un simple clic à un endroit quelconque de la page vous donne le résultat

  

 Pour l'Année choisie, Pâques tombe le :....

 

 

Pour les années avant 1583, date d'adoption du calendrier grégorien, le calcul utilise l'algorithme de Delambre-Butcher.

Pour les années après 1583, le calcul utilise l'algorithme donné par Jean Meeus dans "Calculs astronomiques à l'usage des amateurs", qui reprend la méthode décrite par Spencer Jones ("General Astronomy", 1961), conçue à l'origine en 1876 et publiée dans "Ecclesiastical Calendar" de Butcher.

 

Le calcul de la date de Pâques ne commence qu'à partir de l'an 325 ap. JC.

 

Jour Julien

 

Dates religieuses dépendantes de la date de Pâques

(calendrier grégorien)

 

avant Pâques

Nbre de jours

Date 

Cendres

-46

/

1er dimanche de Carême

-42

/

La Passion

-14

/

Les Rameaux

-7

/

après Pâques

Nbre de jours

 

Ascension

39

/

Pentecôte

49

/

Trinité

56

/

Fête-Dieu

63

/

 

Eléments du Comput pour l'année :

Année

Date de Pâques  (calendrier grégorien)

Nombre d'Or

Nombre compris entre 1 et 19 qui indique le rang d'une année donnée dans un cycle de 19 ans, au bout duquel les phases de la Lune se reproduisent aux mêmes dates. L'astronome grec Méton aurait découvert en 432 av JC que 19 années valent 235 lunaisons. 

 

Indiction romaine

Indiction romaine (de 1 à 15) : rang de l'année dans un cycle de 15 ans, sans signification astronomique. Cet élément n'est pas utilisé pour le calcul de la date de Pâques.

 

Cycle solaire

Cycle solaire (de 1 à 28) : rang de l'année dans un cycle de 28 ans, (retour des jours de la semaine aux mêmes dates dans le calendrier julien). Cet élément n'est pas utilisé pour le calcul de la date de Pâques. 

 

Ecart julien-grégorien

Différence de jours entre les deux calendriers : le calendrier grégorien est de nos jours en avance de 13 jours sur le calendrier julien.

 

Equation Solaire

L'épacte grégorienne suit la loi régissant l'épacte julienne à deux corrections près :

- à chaque année séculaire non bissextile, il convient de retrancher un jour à l'épacte : c'est l'équation solaire de l'épacte. L'équation solaire vaut 3 pour 2006 et reste la même pour les années 2000 à 2099 

 

- pour compenser l'erreur du cycle de Méton, on corrige l'épacte de +1 à des intervalles conduisant à une correction moyenne de 1 jour en 310 ans, soit sept fois au bout de trois siècles et une fois au bout de quatre : c'est l'équation lunaire de l'épacte, qui a été appliquée en 1800, et le sera en 2100. L'équation lunaire vaut 1 pour 2006 et reste la même pour les années 2000 à 2099. 

 

Equation Lunaire

Comput Julien

 

Lettre dominicale julienne

Lettre de l'alphabet, de A à G, affectée à l'année et indiquant le jour de la semaine par lequel celle-ci commence.  

 

Epacte Julienne

Nombre qui indique l'âge de la Lune à la veille du 1er janvier en convenant de désigner par son âge le jour où elle est Nouvelle. Seule la partie entière de la valeur est retenue. L'âge varie ainsi de 0 à 29, la valeur 0 correspondant au jour même de la Nouvelle Lune. Il s'agit ici, non de la Lune elle-même , mais de l'objet fictif défini par le comput. 

 

Comput Grégorien

 

Lettre dominicale grégorienne

Lettre de l'alphabet, de A à G, affectée à l'année et indiquant le jour de la semaine par lequel celle-ci commence. La lettre dominicale est A si le 1er Janvier est un dimanche, B, si c'est un samedi, C si l'année commence un vendredi, D si l'année débute par un jeudi, E si l'année démarre par un mercredi, F si le 1er janvier est un mardi, et G si l'année débute par un lundi. 

 

Epacte grégorienne

Nombre qui indique l'âge de la Lune à la veille du 1er janvier en convenant de désigner par son âge le jour où elle est Nouvelle. Seule la partie entière de la valeur est retenue. L'âge varie ainsi de 0 à 29, la valeur 0 correspondant au jour même de la Nouvelle Lune. Il s'agit ici, non de la Lune elle-même , mais de l'objet fictif défini par le comput. De la valeur de l'épacte on déduit la date de la Pleine Lune. Puis par lettre dominicale, on déduit la date du dimanche suivant : le jour de Pâques. 

Dans le calendrier grégorien, on utilise des épactes modifiées, pour tenir compte à la fois des années séculaires non bissextiles et de l'erreur propre du cycle de Méton, soit environ un jour tous les 300 ans. Les épactes grégoriennes ne sont donc pas invariablement liées au nombre d'or comme dans le calendrier julien. 

 

 

Le comput julien

 

Le comput julien utilise deux éléments, la lettre dominicale et le nombre d'or.

 

La lettre dominicale (du latin dominicalis, dimin. de dominicus "du Seigneur" [dimanche, du latin dies dominicus "jour du Seigneur"]) indique les dimanches d'une année avec la convention suivante : on désigne, à partir du 1er Janvier, les jours successifs de l'année par A, B, C, D, E, F, G en recommençant la série des 7 lettres lorsqu'elle est épuisée. Les jours de même nom sont donc désignés par la même lettre. Si le 1er janvier est un lundi, A désigne les lundis, B les mardis...G les dimanches : G est alors la lettre dominicale de l'année. Dans les années bissextiles, le 29 Février usurpe la lettre qui devrait revenir au 1er Mars. Il faut donc indiquer pour les 10 derniers mois de l'année une 2ème lettre qui eût été normalement celle de l'année.

 

Dim

Lun

Mar

Mer

Jeu

Ven

Sam

A

B

C

D

E

F

G

B

C

D

E

F

G

A

C

D

E

F

G

A

B

D

E

F

G

A

B

C

E

F

G

A

B

C

D

F

G

A

B

C

D

E

G

A

B

C

D

E

F

Si la lettre dominicale (attribuée aux dimanches) de l'année est E, l'année débute par un mercredi (A).

Si la lettre dominicale de l'année est A, l'année commence par un dimanche.

 

Le nombre d'or (de valeur 1 à 19) est le rang d'une année dans le cycle de 19 ans ou cycle de Méton. En effet, Méton d'Athènes (470-400 av. J.-C.), astronome grec, a noté, vers l'an 432 av. J.-C., que la durée de 235 lunaisons était quasiment égale à celle de 19 années solaires, ou encore que l'âge de la lune revient aux mêmes dates tous les 19 ans. Autrement dit, un cycle de 19 années juliennes moyennes, ou cycle de Méton, comporte presque exactement 235 lunaisons moyennes.

 

Le comput grégorien

 

Le comput grégorien utilise la lettre dominicale et l'épacte, mais la connaissance du nombre d'or s'avère aussi nécessaire.

 

Si dans le calendrier julien, le Nombre d'or est suffisant au calcul de la date de pleine lune pascale, dans le calendrier grégorien le calcul est compliqué par sa définition des années bissextiles. Ces années bissextiles altèrent le cycle métonique simple en changeant le nombre de jours dans les périodes différentes de 19 ans.

 

L'Épacte (du grec epaktai [hêmerai] "[jours] intercalaires") est par définition le nombre de jours qu'il faut ajouter à l'année lunaire pour qu'elle soit égale à l'année solaire.

 

Le cycle solaire est un élément dont l'emploi est équivalent à celui de la lettre dominicale julienne. Le cycle solaire (1 à 28) est le rang de l'année dans un cycle de 28 ans, temps requis pour le retour des jours de la semaine aux mêmes dates dans le calendrier julien. En pratique, le cycle solaire est intimement lié aux lettres dominicales.

 

Le cinquième élément, l'indiction romaine (du latin indictio "publier"), n'a aucun rôle dans le comput actuel; il a servi dans une ancienne chronologie chrétienne, fondée sur une division du temps en cycles successifs de 15 ans à partir de l'an 313 de l'ère chrétienne, et dans laquelle il indiquait le rang d'une année dans son cycle.

 

En annexe : explications des calculs par l'exemple

 

Calcul de la date de Pâques, formule due à Albert Troesch

Exemple pour 2006

Exemple pour 1875

Diviser le millésime de l'année par 100 et mettre le quotient (s) et le reste (m) de côté 

2006 / 100 = 20 reste 6

 

s = 20

m = 6 

1875 / 100 = 18 reste 75

 

s = 18

m = 75

 

Diviser le millésime de l'année par 19 et mettre le reste (N) de côté.

N + 1 est le nombre d'or de l'année. 

 

2006 / 19 = 105 reste 11

 

N = 11

11 + 1 = 12

12 est le Nombre d'or de l'année 2006

 

1875 / 19 = 98 reste 13

 

N = 13

13 + 1 = 14

14 est le Nombre d'or de l'année 1875

 

Multiplier le millésime de l'année par 5 puis diviser le résultat par 4 et mettre le quotient (g) de côté. 

 

2006 * 5 = 10 030

10 030 / 4 = 2507 reste 2

 

g = 2507 

 

1875 * 5 = 9375

9375 / 4 = 2343 reste 3

 

g = 2343 

 

Soustraire g de 2 et diviser le résultat par 7 et mettre le reste (Lj) de côté.

Lj est la lettre dominicale julienne de l'année. 

 

2 - 2507 = -2505

-2505 / 7 = -357 reste -6

comme le résultat est négatif, ajouter + 7

-6 + 7 = 1 

 

Lj = 1

La lettre dominicale julienne de l'année 2006 est B, l'année juliene débute un samedi

 

2 - 2343 = -2341

-2341 / 7 = -334 reste -3

comme le résultat est négatif, ajouter + 7

-3 + 7 = 4

 

Lj = 4

La lettre dominicale julienne de l'année 1875 est E, l'année juliene débute un mercredi

 

Effectuer l'opération 3 s - 5 et diviser le résultat par 4 et mettre le quotient (r) de côté.

r est l'écart entre le calendrier grégorien et le calendrier julien

 

(3 * 20) - 5

60 - 5 = 55 / 4 = 13 reste 3

 

r = 13

13 est l'écart entre ces deux calendriers en 2006

 

(3 * 18) - 5

54 - 5 = 49 / 4 = 12 reste 1

 

r = 12

12 est l'écart entre ces deux calendriers en 1875

 

Effectuer l'opération Lj + r et diviser le résultat par 7 et mettre le reste (Lg) de côté.

Lg est la lettre dominicale grégorienne de l'année

 

1+ 13 = 14

14 / 7 = 2 reste 0

 

Lg = 0

 

A est la lettre dominicale grégorienne de l'année 2006, l'année grégorienne débute un dimanche

 

4+ 12 = 16

16 / 7 = 2 reste 2

 

Lg = 2

 

C est la lettre dominicale grégorienne de l'année 1875, l'année grégorienne débute un vendredi

 

Effectuer l'opération 11 N + 8 et diviser le résultat par 30 et mettre le reste (Ej) de côté.

Ej est l'épacte julienne de l'année 

 

(11 * 11) + 8 = 129

129 / 30 = 4 reste 9

 

Ej = 9

L'épacte julienne de l'année 2006 est 9

 

(11 * 13) + 8 = 151

151 / 30 = 5 reste 1

 

Ej = 1

L'épacte julienne de l'année 1875 est 1

 

Effectuer l'opération 3 s - 45 et diviser le résultat par 4 et mettre le quotient (ES) de côté.

ES est l'équation solaire

 

(3 * 20) - 45 = 15

15 / 4 = 3 reste 3

 

ES = 3

L'équation solaire de l'année 2006 est 3

(3 * 18) - 45 = 9

9 / 4 = 2 reste 1

 

ES = 2

L'équation solaire de l'année 1875 est 2

 

Effectuer l'opération 8 s - 112 et diviser le résultat par 25 et mettre le quotient (EL) de côté.

EL est l'équation lunaire 

 

(8 * 20) - 112 = 48

48 / 25 = 1 reste 23

 

EL = 1

L'équation lunaire de l'année 2006 est 1

 

(8 * 18) - 112 = 32

32 / 25 = 1 reste 7

 

EL = 1

L'équation lunaire de l'année 1875 est 1

 

Effectuer l'opération Ej + 23 - ES + EL et diviser le résultat par 30 et mettre le reste (Eg) de côté.

Eg est l'épacte grégorienne

 

Si Eg < 0 alors Eg = Eg + 30

9 + 23 - 3 + 1 = 30

30 / 30 = 1 reste 0

 

Eg = 0

L'épacte grégorienne de l'année 2006 est 0

 

note : La valeur de Eg doit être comprise entre 0 et 30. Pour éviter que des valeurs négatives entraînent un calcul erroné par la suite pour certaines dates, une condition supplémentaire est introduite : si Eg est inférieure à 0, une valeur de 30 doit être ajoutée.

Cette opération rectifie le résultat pour des valeurs négatives de -5 et au-delà.
Pour les autres valeurs négatives (de -1 à -4), cette opération n'a pas d'incidence sur le résultat du fait de l'introduction de la condition de la quatrième ligne (énoncée plus bas), à savoir Eg* = Eg* - 30.

 

1 + 23 - 2 + 1 = 23

23 / 30 = 0 reste 23

 

Eg = 23

L'épacte grégorienne de l'année 1875 est 23

 

Si Eg = 25 et si N + 1 est supérieur à 11 alors Eg* = 26.

Si Eg = 24 alors Eg* = 25.

Sinon Eg* = Eg

Si Eg* est supérieur à 23 alors Eg* = Eg* - 30

 Eg* = 0

 

Pour 2006, Eg étant égal à 0, Eg* reste égal à 0 car aucune des conditions n'est remplie.

 

autre exemple, pour 2011 : les résultats des calculs prémiminaires indiquent que Eg = 25 et que N= 16. Par conséquent, puisque Eg = 25 et que N + 1 est supérieur à 11, la condition de la première ligne est remplie : Eg* est donc égal à 26. Les conditions des seconde et troisième lignes ne sont pas remplies. Comme Eg* est alors supérieur à 23, la condition de la quatrième ligne s'applique et Eg* = 26 - 30 soit -4.

 

note : Les deux premières conditions ont été introduites afin d'éviter que la date de Pâques ne tombe en dehors des limites astronomiquement possibles. Elles ont pour effet d'avancer alors la date de Pâques d'une semaine lorsque la nouvelle lune pascale est un dimanche.

 

 Eg* = 23

 

Pour 1875, Eg est égal à 23.

Les deux premières conditions ne sont pas remplies.

Eg*= 23

 

Effectuer l'opération Eg* + Lg + 2 et diviser le résultat par 7 et mettre le reste (y) de côté.

 

note : si le résultat est négatif, ajouter + 7

 

Eg* = 0 + 0 + 2 = 2

2 / 7 = 0 reste 2

 

y = 2

 

Eg* = 23 + 2 + 2 =27

27 / 7 = 3 reste 6

 

y = 6

 

D (jour de Pâques) = 45- Eg* + y

Si D = ou < 31 Pâques est le D mars

Sinon Pâques est le (D - 31) avril 

 

45 - 0 + 2 = 47

47 - 31 = 16

 

Pâques en 2006 tombe le 16 Avril

 

45 - 23 + 6 = 28

 

Pâques en 1875 tombe le 28 Mars

 

Autres données : 

Exemple pour 2006

Exemple pour 1875

Diviser le millésime de l'année + 2 par 15 et mettre le reste (Ind) de côté.

Ind + 1 est L'Indiction romaine 

 

Ind = (2006 + 2) / 15 = 133 reste 13
Ir = 13 + 1 = 14

 

Ind = 13

L'Indiction romaine pour 2006 est 14

 

Ind = (1875 + 2) / 15 = 125 reste 2

Ir = 2 + 1 = 3

 

Ind = 3

L'Indiction romaine pour 1875 est 3

 

Diviser le millésime de l'année + 8 par 28 et mettre le reste (Sol) de côté.

Sol + 1 est le Cycle solaire 

 

Sol  = (2006 + 8) / 28 = 71 reste 26

Cs = 26 + 1 = 27

 

Sol =26

 Le Cycle solaire pour 2006 est 27

 

Sol  = (1875 + 8) / 28 = 67 reste 7

Cs = 7 + 1 = 8

 

Sol =8

Le Cycle solaire pour 1875 est 8

 

 

Pour en savoir plus ...

 

http://portail.imcce.fr/en/grandpublic/systeme/promenade/pages4/440.html

 

http://portail.imcce.fr/fr/grandpublic/systeme/promenade/pages4/442.html

 

http://www.imcce.fr/~procher/Presentations/lesdatesdepaques.pdf

 

http://www.chez.com/cosmos2000/Vendredi13/A5_fr.html

 

http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_de_la_date_de_P%C3%A2ques

 

Troesch, Albert
Droites discrètes et calendriers. Mathématiques et Sciences Humaines, 141 (1998), p. 11-41

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSH/MSH_1998__141_/MSH_1998__141__11_0/MSH_1998__141__11_0.pdf

 

The Date of Easter Sunday

 

 

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